講演者

平松 篤樹氏（埼玉大学）

会場

数学研究室1（埼玉大学理工学研究科棟5階）

アブストラクト

Parallel surfaces is a topic lying at the interface between singularity theory and differential geometry. Parallel surfaces of fronts can be investigated in much the same way as those of regular surfaces; however, parallel surfaces of frontals that are not fronts have not been extensively investigated.
In this work, we study parallel surfaces of cuspidal cross caps, which are typical singularities of frontals that are not fronts.
For cuspidal cross caps, one can define invariants corresponding to the principal curvatures of regular surface.
We show that the parallel surfaces of a cuspidal cross cap degenerate when they reach the radii of our principal curvature.
Although the Gaussian curvature and the mean curvature diverge at a cuspidal cross cap, an analysis of their asymptotic expansions reveals that it is not the leading divergent terms, but rather the constant terms, that coincide with the average and the product of our principal curvatures.
We also investigate the singularities of the squared distance function and report on their relationships with the geometry of parallel surfaces.

平行曲面は、特異点論と微分幾何学の接点に位置する研究テーマである。フロントの平行曲面は正則曲面の平行曲面とほぼ同様の方法で調べることができるが、フロントでないフロンタルな曲面の平行曲面については、これまで十分には研究されていない。本研究では、そのようなフロンタルに現れる典型的な特異点である cuspidal cross cap の平行曲面を考察する。
cuspidal cross cap に対しては、正則曲面の主曲率に対応する不変量を定義することができ，その平行曲面は、これらの主曲率半径に達すると退化することを示す。cuspidal cross cap においてはガウス曲率および平均曲率は発散するが、それらの漸近展開を調べることで、発散する主要項ではなく、定数項が主曲率の平均および積に一致することを明らかにする。
さらに、距離二乗関数の特異点についても調べ、平行曲面の幾何との関連についても報告する。